Quelles sont les règles du jeu ?
Aujourd’hui, nous allons nous intéresser à un petit jeu « Mathématique ». Ce que j’entends par là, c’est qu’une petite stratégie simple, basée sur un raisonnement Mathématique, va nous permettre de gagner à coup sûr !
Pour exemple, vous connaissez certainement le jeu des bâtonnets, popularisé par Ford Boyard. Dans celui-ci, 20 bâtonnets sont alignés et à tour de rôle les joueurs doivent retirer au choix 1, 2 ou 3 bâtonnets. Celui qui retire le dernier bâtonnet est déclaré comme étant le perdant ! Si vous ne connaissez pas l’astuce pour gagner à coup sûr, je vous laisse y réfléchir (il s’agit aussi de savoir si le futur gagnant avec cette stratégie sera celui qui joue en premier ou en deuxième).
Voici le jeu du jour ! Un premier joueur (appelons le B) décide d’écrire dans l’ordre de son choix les nombres de 1 à 10. Cela pourrait donner par exemple :
- 4 8 9 2 1 6 10 7 3 5
C’est alors le deuxième joueur (A) qui débute la partie. Pour cela, il doit choisir un de ces 10 nombres, qui correspondra à un nombre de points (le but étant d’en avoir plus que l’adversaire). La seule contrainte est la suivante : il doit choisir un nombre d’une des 2 extrémités (soit le plus à gauche, soit le plus à droite).
Ici, cela lui donne 2 possibilités : le 4 et le 5. Disons qu’il choisisse le 5 (qui est plus grand). Celui-ci est retiré, et le jeu se poursuit avec le joueur B qui choisit un nombre de la même façon.
Chaque joueur va au total choisir 5 nombres, ce qui lui donne un total de points. Est déclaré vainqueur celui qui en possède le plus !
Regardons une partie possible.
- 4 8 9 2 1 6 10 7 3 5 A choisit 5
- 4 8 9 2 1 6 10 7 3 B choisit 4
- 8 9 2 1 6 10 7 3 A choisit 8
- 9 2 1 6 10 7 3 B choisit 9
- 2 1 6 10 7 3 A choisit 3
- 2 1 6 10 7 B choisit 7
- 2 1 6 10 A choisit 10
- 2 1 6 B choisit 6
- 2 1 A choisit 2
- 1 B choisit 1
Faisons les comptes ! A : 5 + 8 + 3 + 10 + 2 = 28 points B : 4 + 9 + 7 + 6 + 1 = 27 points
Le vainqueur est donc A !
Vous avez peut-être remarqué la stratégie utilisée par les 2 joueurs : chacun prend à chaque tour le plus grand nombre des 2 qu’il peut choisir.
Qu’en pensez-vous ? Cela pourrait avantager A, qui débute la partie. Cependant, B qui choisit l’ordre pourrait s’arranger pour choisir un ordre le favorisant… Comment être certain qu’un des 2 joueurs peut gagner toutes les parties ?
Une stratégie optimale
Je vais ici détailler une stratégie permettant au joueur……. A de gagner à coup sûr !
Faisons une première remarque. La somme des nombres de 1 à 10 est égale à 55 (je vous laisse le vérifier). Pour gagner, il faut donc avoir à minima 28 points (vous noterez qu’il n’est pas possible d’avoir match nul !).
Imaginons l’ordre suivant pour débuter une partie :
- 10 8 9 6 1 7 3 5 4 2
Il est raisonnable de penser que nous devons nous ruer sur le 10 (à place du 2 !). Détrompez-vous, cela serait une grosse erreur ! Cela parait absurde, et pourtant….
Je vous propose de mettre cela en couleur :
- 10 8 9 6 1 7 3 5 4 2
Je colorie un nombre sur 2 en rouge, et un sur 2 en bleu. Lorsque je joue, je peux m’assurer de prendre toujours un nombre de la même couleur. Par exemple, je peux commencer par le 2. Le joueur B sera alors forcé de prendre un nombre rouge. A mon tour, j’aurai le choix entre un bleu et un rouge, je prends le bleu. B sera forcé de prendre un rouge…
Au final, j’aurais engrangé tous les nombres bleus et B tous les rouges.
Vous voyez la technique ? Il faut choisir la couleur dont les points sont au moins égaux à 28 ! Pour cela, il suffit de compter dans sa tête la somme d’un nombre sur 2, pour déterminer la liste gagnante. Il s’agit ensuite de tous les récupérer !
Illustrons cela sur l’exemple.
Je compte en rouge ! 10 + 9 + 1 + 3 + 4 = 27 points. Je sais donc immédiatement que la liste rouge est perdante (on compterait en bleu 28 points).
- 10 8 9 6 1 7 3 5 4 2 A prend 2
- 10 8 9 6 1 7 3 5 4 B prend 10 (par exemple)
- 8 9 6 1 7 3 5 4 A prend 8
- 9 6 1 7 3 5 4 B prend 9
- 6 1 7 3 5 4 A prend 6
- 1 7 3 5 4 B prend 4
- 1 7 3 5 A prend 5
- 1 7 3 B prend 3
- 1 7 A prend 7
- 1 B prend 1
Cet exemple illustre bien qu’à chaque tour, B est forcé de prendre un nombre rouge, tandis que nous récoltons tous les bleus, et la victoire qui en découle !
Notre choix initial de prendre le 2 à la place du 10 peut laisser suggérer à l’adversaire que nous sommes naïfs, alors que c’est lui qui tombe dans un piège, n’ayant aucune chance de gagner !
Pour se faciliter la tâche, nous pouvons résumer la stratégie gagnante comme suit :
« 1. J’identifie la suite gagnante. Pour cela, je fais mentalement la somme des points en prenant un nombre sur 2 en partant du premier à gauche. Si cette somme vaut au moins 28, je la choisis, sinon je prends l’autre ».
2. Je commence par prendre le premier nombre de cette liste.
3. Si B prend le nombre de gauche, je prends celui de gauche. S’il prend celui de droite, je prends celui de droite. En fait, je joue toujours du même côté que lui ».
Et le tour est joué ! Voilà comment un petit raisonnement Mathématique peut nous mener vers des stratégies gagnantes ! Ceci n’avait rien d’intuitif, il paraissait difficile à première vue d’assurer la victoire à l’un des 2 joueurs ! Bien sûr, si les 2 joueurs connaissent cette stratégie, le jeu perd de son intérêt…
C’est par exemple le cas du jeu du morpion, ou il est facile de comprendre comment faire match nul à coup sûr.
Dans ces situations, on parle de jeu « résolu », en ce sens que l’on connait une stratégie figeant à l’avance le sort de la partie.
Un exemple célèbre est celui du jeu d’échecs. L’ordinateur bat aujourd’hui très facilement tous les êtres humains. Cependant, nous ne savons pas si le jeu de l’ordinateur est parfait. Aujourd’hui, beaucoup pensent qu’il doit exister une stratégie assurant à coup sûr le match nul. Mais nous sommes loin d’en être sûr, et encore plus loin de pouvoir considérer une telle stratégie !