Qu’est ce qu’une division ?

En Mathématiques, il existe plusieurs règles d’or. L’une d’entre elle, fondamentale, capable de donner des pulsions colériques à tous les professeurs de Maths est « il est IMPOSSIBLE de diviser par 0 », sous peine de voir le monde exploser (puisque je vous le dis !).
Pour débuter, je vous propose de demander l’avis d’une calculatrice, en tapant par exemple « 3 : 0 ». Si tout va bien, la calculatrice devrait répondre quelque chose du type « error ». Bien sûr, la calculatrice répond ce que celui qui a écrit son code informatique a envie qu’elle réponde. Mais c’est une illustration de l’absurdité de ce calcul !
Aujourd’hui, nous allons découvrir sous plusieurs aspects les raisons (parfois profondes) de cette règle d’or !

Pour débuter, revenons au sens premier d’une division, celui que l’on apprend dès notre plus jeune âge. Diviser une quantité par 2, c’est partager cette quantité en 2 parts égales. Par exemple, si je partage 6 pommes en 2, je dois les partager en 2 lots égaux. On voit directement que chacun de ces lots sera constitué de 3 pommes. Nous pouvons alors présenter ce résultat sous la forme abstraite « 6 : 2 = 3 ».
Nous avons ici divisé par un nombre entier, mais le processus serait le même quel que soit les nombres (tant que le diviseur n’est pas nul !).
Comment interpréter une division par 0 ? Il s’agirait de partager une certaine quantité en… 0 ? Personnellement, je n’arrive pas à donner de sens à cela (je pense même qu’il n’y en a pas !). Ceci n’est pas une démonstration, les Mathématiques étant parfois au-dessus de toute interprétation humaine. Mais c’est un premier signe vers l’impossibilité de donner résultat à une division par 0.

Une approche analytique

Essayons de regarder les choses sous l’angle de vue de l’analyse (qui est une branche des Mathématiques). Nous prendrons aussi pour exemple la division « 6 : 2 ».
Pour faire ce calcul, nous allons essayer « d’approcher le résultat », sans le faire directement. Pour cela, nous pouvons effectuer successivement des divisions par des nombres de plus en plus proches de 2 :

Notez que j’ai pris le soin de faire des divisions par des nombres de plus en plus proches de 2 par valeurs supérieures et inférieures !
Bonne nouvelle, les résultats semblent toujours se rapprocher d’un même nombre : 3. Et ça tombe bien, puisque c’est le résultat de notre opération ! Mais nous ne sommes pas plus avancés.

Essayons de faire la même chose pour se donner une idée du résultat de l’opération « 6 : 0 » :

Vous le voyez, le double problème ? D’une part, lorsque je m’approche de la division par 0, les résultats ne s’approchent pas d’une même valeur, mais en plus cela diffère selon que je divise par une valeur supérieure ou inférieure à 0 ! D’un côté, cela explose vers l’infini positif, de l’autre vers l’infini négatif !
De ce point de vue, il semble impossible d’attribuer une valeur au calcul « 6 : 0 »…

Une approche algébrique

L’algèbre est la partie des Mathématiques qui s’occupe des opérations sur les nombres (de façon très générale) : le cadre parfait pour s’intéresser à notre problème !
En algèbre, il n’y a pas vraiment de division à proprement parler. Par exemple, on ne divise pas par 2, mais on multiple par l’inverse de 2 (qui est ½ = 0,5). Lorsque cela est possible, nous considérons donc ce que l’on appelle l’inverse des nombres.

L’inverse du nombre 2 est défini comme le nombre qui multiplié par 2 donne 1 : 2 × ½ = 1. La notation fractionnaire « ½ » correspond exactement à définir l’inverse du nombre 2.
Essayons donc de diviser par 0. Pour cela, définissons d’abord son inverse.
L’inverse de 0 est le nombre e (notation arbitraire) défini par : 0 × e = 1. Cependant, il est clair que cette équation n’a pas de solution. En effet, nous savons bien que par définition 0 × e = 0, et qu’il sera donc impossible de trouver un nombre e vérifiant cette équation.
De fait, le nombre 0 n’a pas d’inverse. On ne peut donc pas multiplier par l’inverse de 0, et on ne peut donc pas diviser par 0 !

Une approche logique

Pour cette dernière approche, je vous propose que l’on s’intéresse à cette démonstration (très connue !). Prenons deux nombres a et b quelconques, partons de l’égalité suivante et transformons-la !

Oups… Nous sommes partis de l’hypothèse simple a=b et par de simples transformations, nous sommes arrivés à 1=2. Que faire ? Remettre en cause le fait que 1 et 2 soient 2 nombres différents ? Peut-être pas…
Dans cette « fausse démonstration » réside bien évidemment une entourloupe. Puisque nous partons du fait que a=b, remarquons qu’alors b-a=0. Et lorsque j’ai simplifié par b-a, j’ai en fait par 0 ! C’est à cette étape de la démonstration :

Récapitulons : diviser par 0 implique que 1 = 2.
De façon logique, nous avons 2 possibilités : rejeter notre croyance dans le fait que 1 et 2 sont différents, ou rejeter la division par 0.
J’espère que vous êtes d’accord avec moi : nous allons rejeter la division par 0, et exclure cette opération sous peine de vivre dans un monde Mathématique dans lequel 1 = 2 !
En fait, nous mettons ici en lumière une autre règle FONDAMENTALE des Mathématiques : « on ne doit PAS pouvoir démontrer une chose et son contraire » (j’espère que cette règle vous semble naturelle). Si une hypothèse vous mène à une telle barbarie, rejetez-la immédiatement !

L’assertion « diviser par 0 implique 1 = 2 » doit convaincre chacun d’entre vous que la division par 0 n’a pas de sens !